Пусть два точечных заряда q 1 и q 2 находятся в вакууме на расстоянии r друг от друга. Можно показать, что потенциальная энергия их взаимодействия даётся формулой:

W = kq 1 q 2 /r (3)

Мы принимаем формулу (3) без доказательства. Две особенности данной формулы следует обсудить.

Во-первых, где находится нулевой уровень потенциальной энергии? Ведь потенциальная энергия, как видно из формулы (3), в нуль обратиться не может. Но на самом деле нулевой уровень существует, и находится он на бесконечности. Иными словами, когда заряды расположены бесконечно далеко друг от друга, потенциальная энергия их взаимодействия полагается равной нулю (что логично - в этом случае заряды уже «не взаимодействуют»). Во-вторых, q 1 и q 2 - это снова алгебраические величины зарядов, т.е. заряды с учётом их знака.

Например, потенциальная энергия взаимодействия двух одноимённых зарядов будет положительной. Почему? Если мы отпустим их, они начнут разгоняться и удаляться друг от друга.

Их кинетическая энергия возрастает, стало быть потенциальная энергия - убывает. Но на бесконечности потенциальная энергия обращается в нуль, а раз она убывает к нулю, значит - она является положительной.

А вот потенциальная энергия взаимодействия разноимённых зарядов оказывается отрицательной. Действительно, давайте удалим их на очень большое расстояние друг от друга - так что потенциальная энергия равна нулю - и отпустим. Заряды начнут разгоняться, сближаясь, и потенциальная энергия снова убывает. Но если она была нулём, то куда ей убывать? Только в сторону отрицательных значений.

Формула (3) помогает также вычислить потенциальную энергию системы зарядов, если число зарядов больше двух. Для этого нужно просуммировать энергии каждой пары зарядов. Мы не будем выписывать общую формулу; лучше проиллюстрируем сказанное простым примером, изображённым на рис. 8

Рис. 8.

Если заряды q 1 , q 2 , q 3 находятся в вершинах треугольника со сторонами a, b, c, то потенциальная энергия их взаимодействия равна:

W = kq 1 q 2 /a + kq 2 q 3 /b + kq 1 q 3 /c

Потенциал

Из формулы W = - qEx мы видим, что потенциальная энергия заряда q в однородном поле прямо пропорциональна этому заряду. То же самое мы видим из формулы W = kq 1 q 2 /r потенциальная энергия заряда q 1 , находящегося в поле точечного заряда q 2 , прямо пропорциональна величине заряда q 1 . Оказывается, это общий факт: потенциальная энергия W заряда q в любом электростатическом поле прямо пропорциональна величине q:

Величина ц уже не зависит от заряда, является характеристикой поля и называется потенциалом:

Так, потенциал однородного поля E в точке с абсциссой x равен:

Напомним, что ось X совпадает с линией напряжённости поля. Мы видим, что с ростом x потенциал убывает. Иными словами, вектор напряжённости поля указывает направление убывания потенциала. Для потенциала поля точечного заряда q на расстоянии r от него имеем:

Единицей измерения потенциала служит хорошо известный вам вольт. Из формулы (5) мы видим, что В = Дж / Кл.

Итак, теперь у нас есть две характеристики поля: силовая (напряжённость) и энергетическая (потенциал). У каждой из них имеются свои преимущества и недостатки. Какую именно характеристику удобнее использовать - зависит от конкретной задачи.

Потенциальная энергия взаимодействия системы точечных зарядов и полная электростатическая энергия системы зарядов

Анимация

Описание

Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся в вакууме на расстоянии r 12 друг от друга можно вычислить по:

(1)

Рассмотрим систему, состоящую из N точечных зарядов: q 1 , q 2 ,..., q n .

Энергия взаимодействия такой системы равна сумме энергий взаимодействия зарядов взятых попарно:

. (2)

В формуле 2 суммирование производится по индексам i и k (i № k ). Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, значения от 0 до N . Слагаемые, для которых значение индекса i совпадает со значением индекса k не учитываются. Коэффициент 1/2 поставлен потому, что при суммировании потенциальная энергия каждой пары зарядов учитывается дважды. Формулу (2) можно представить в виде:

, (3)

где j i - потенциал в точке нахождения i -го заряда, создаваемый всеми остальными зарядами:

.

Энергия взаимодействия системы точечных зарядов, вычисляемая по формуле (3), может быть как положительной, так и отрицательной. Например она отрицательная для двух точечных зарядов противоположного знака.

Формула (3) определяет не полную электростатическую энергию системы точечных зарядов, а только их взаимную потенциальную энергию. Каждый заряд q i , взятый в отдельности обладает электрической энергией. Она называется собственной энергией заряда и представляет собой энергию взаимного отталкивания бесконечно малых частей, на которые его можно мысленно разбить. Эта энергия не учитывается в формуле (3). Учитывается только работа затрачиваемая на сближение зарядов q i , но не на их образование.

Полная электростатическая энергия системы точечных зарядов учитывает также работу, на образование зарядов q i из бесконечно малых порций электричества, переносимых из бесконечности. Полная электростатическая энергия системы зарядов всегда положительная. Это легко показать на примере заряженного проводника. Рассматривая заряженный проводник как систему точечных зарядов и учитывая одинаковое значение потенциала в любой точке проводника, из формулы (3) получим:

Эта формула дает полную энергию заряженного проводника, которая всегда положительна (при q>0 , j >0 , следовательно W>0 , если q<0 , то j <0 , но W>0 ).

Временные характеристики

Время инициации (log to от -10 до 3);

Время существования (log tc от -10 до 15);

Время деградации (log td от -10 до 3);

Время оптимального проявления (log tk от -7 до 2).

Диаграмма:

Технические реализации эффекта

Техническая реализация эффекта

Для наблюдения энергии взаимодействия системы зарядов достаточно подвесить на ниточках на расстоянии порядка 5 см друг от друга два легких проводящих шарика и зарядить их от расчески. Они отклонятся, то есть повысят свою потенциальную энергию в поле земного тяготения, что и делается за счет энергии их электростатического взаимодействия.

Применение эффекта

Эффект настолько фундаментален, что без преувеличения можно считать, что он применяется кв любой электротехнической и радиоэлектронной аппаратуре, использующий зарядовые накопители, то есть конденсаторы.

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики.- М.: Наука, 1988.- Т.2.- С.24-25.

2. Сивухин Д.В. Общий курс физики.- М.: Наука, 1977.- Т.3. Электричество.- С.117-118.

Ключевые слова

• электрический заряд
• точечный заряд
• потенциал
• потенциальная энергия взаимодействия
• полная электрическая энергия

Разделы естественных наук:

1) Электростатические силы взаимо­действия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенци­альной энергией.

Найдем потенциальную энергию системы двух неподвижных точеч­ных зарядов Q 1 и Q 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией:

где j 12 и j 21 - соответственно потенциалы, создаваемые зарядом Q 2 в точке нахожде­ния заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения заряда Q 2 .

(33)

поэтому W 1 = W 2 = W и

Добавляя к системе из двух зарядов последовательно зарядыQ 3 , Q 4 , ... , можно убедиться в том, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна

(35)

где j i - потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i -го.

2) Пусть имеется уединенный провод­ник, заряд, емкость и потенциал которого соответственно равны: Q, С, j. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконеч­ности на уединенный проводник, затратив на это работу, равную

Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, необходимо совершить работу

(37)

Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совер­шить, чтобы зарядить этот проводник:

Потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Пола­гая потенциал проводника равным j, найдем:

(39)

где - заряд проводника.

26. Энергия заряженного конденсатора . Как всякий заряженный проводник, конден­сатор обладает энергией, которая в соответствии с формулой (95.3) равна

где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, Dj - разность потенциалов между обкладками конденсатора.

27. Объемная плотность энергии электростатического поля. Преобразуем формулу (40), выражающую энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов и воспользовав­шись выражением для емкости плоского конденсатора (C=e 0 eS/d ) и разности потенци­алов между его обкладками (Dj =Ed ), получим:

(41)

где V= Sd - объем конденсатора. Формула (41) показывает, что энергия конден­сатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - на­пряженность Е.

Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема)

(42)

Формулы (40) и (42) соответственно связывают энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и с напряженностью поля.

· сила тока I (служит количественной мерой электрического тока)- скалярная физи­ческая величина, определяемая электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника в единицу времени:

· плотность тока - физическая величина, определяемая силой тока, проходящего через единицу площа­ди поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока

- вектор , ориентированный по направлению тока (т.е. направление вектора j совпадает с направлением упорядоченного движения положительных зарядов.

Единица плотности тока - ампер на метр в квадрате (А/м 2).

Сила тока сквозь произвольную поверхность S определяется как поток вектора j , т. е.

· Выражение для плотности тока через среднюю скорость носителей тока и их концентрацию

За время dt через площадку dS пройдут заряды, отстоящие от нее не дальше чем на vdt (выражение для расстояния между зарядами и площадкой через скорость)

Заряд dq, прошедший за dt через dS

где q 0 - заряд одного носителя; n - число зарядов в единице объема (т.е их

концентрация): dS·v·dt - объем.

отсюда, выражение для плотности тока через среднюю скорость носителей тока и их концентрациюимеет следующий вид:

· постоянный ток – ток, сила и направление которого не изменяются со времени.

Где q - электрический заряд, проходящий за время t через поперечное сечение провод­ника. Единила силы тока - ампер (А).

· сторонние силы и ЭДС источника тока

сторонние силы - силы неэлектростатического происхождения, действующие на заряды со стороны источников тока.

Сторонние силы совершают работу по перемещению электрических зарядов.

Эти силы имеют электромагнитную природу:

и их работа по переносу пробного заряда q пропорциональна q:

· Физи­ческая величина, определяемая работой, совершаемой сторонними силами при переме­щении единичного положительного заряда, называется электродвижущей силой (э.д.с.), действующей в цепи:

где е называют электродвижущей силой источника тока. Знак «+» соответствует случаю, когда при движении источник проходит в направлении действия сторонних сил (от отрицательной обкладки к положительной), «-» - противоположному случаю

· Закон Ома для участка цепи

· Электрическое сопротивление

R – сопротивление проводника.

Единица сопротивления – Ом.

Для однородного проводника длиной l и сечением S:

ρ - удельное сопротивление

· Закон Ома для замкнутой цепи

Если электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2 со­впадают, j 1 =j 2 ; тогда получаем закон Ома для замкнутой цепи:

· Закон Ома в локальной форме

Закон Ома для элементарного объема проводника.

Обозначим величину, обратную плотности, где - удельная проводимость.

Получим закон Ома в дифференциальной форме

· Удельное сопротивление (см. пункт 31)

Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме

Рисунок 6

Количество тепла, выделяемое в элементарном объеме с сопротивлением R при прохождении тока I в течение времени dt:

- закон Джоуля - Ленца.

Найдем плотность мощности:

Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице объема, называется удельной тепловой мощностью тока.

Она равна

Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме.

Сила, действующая на электрический заряд, движущийся в магнитном поле со скоростью, называется силой Лоренца и выражается формулой

Вращающий момент сил, можно определить с.о.:

Вращающий момент сил зависит как от свойств поля в данной точке, так и от свойств рамки и определяется формулой

где - вектор магнитного момента рамки с током ( -вектор магнитной индукции, количественная характеристика магнитного поля). Для плоского контура с током I

где S - площадь поверхности контура (рамки) ,

n - единичный вектор нормали к по­верхности рамки.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

[B] – Тл (Тесла) .

Магнитное поле является силовым, следовательно, его можно изображать, с помощью линий магнитной индукции - линий, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора В.

Свойства линий магнитной индукции:

 замкнуты, т.к. в природе нет магнитных зарядов;

 вектор В направлен по касательной к линии магнитной индукции;

 густота линий магнитной индукции пропорциональна модулю вектора В.

Движение заряженных частиц в магнитном поле

Выражение для силы Лоренца позволяет найти ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле. Направление силы Лоренца и направление вызываемого ею отклонения заряженной частицы в магнитном поле зависят от знака заряда частицы. На этом основано определение знака заряда частиц, движущихся в магнитных полях.

Для вывода общих закономерностей будем считать, что магнитное поле однородно и на частицы электрические поля не действуют. Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол a между векторами v и В равен 0 или p. Тогда по формуле (32) сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.

Вектор скорости параллелен вектору магнитной индукции (рис.9)

Рисунок 9

Частица движется равномерно и прямолинейно, вдоль магнитного поля.

Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v , перпен­дикулярной вектору В , то сила Лоренца постоянна по модулю и нормальна к траектории частицы. Согласно второму закону Ньютона, эта сила создает центро­стремительное ускорение. Отсюда следует, что частица будет двигаться по окружности (рис.2).

Рисунок 2

Линии индукции направлены за чертеж, В = const. Ускорение

Нормальное ускорение.

Частица движется по окружности такого радиуса:

Время одного полного оборота:

т. е. период вращения частицы в однородном магнитном поле определяется только величиной, обратной удельному заряду (q/m ) частицы, и магнитной индукцией поля, но не зависит от ее скорости (при v< На этом основано действие циклических ускорителей заряженных частиц.

Если скорость v заряженной частицы направлена под углом a к вектору В (рис. 1), то ее движение можно представить в виде суперпозиции: 1) равномерного прямолиней­ного движения вдоль поля со скоростью v || =v cosa ; 2) равномерного движения со скоростью v ^ =v sina по окружности в плоскости, перпендикулярной полю.

плоскости, перпендикулярной полю.

Радиус окружности определяется формулой (34) (в данном случае надо заменить v на v ^ =v sina ). В результате сложения обоих движений возникает движение по спирали, ось которой параллельна магнитному полю (рис. 1). Шаг винтовой линии

Подставив в последнее выражение (35), получим

Направление, в котором закручивается спираль, зависит от знака заряда частицы.

Если скорость заряженной частицы составляет угол a с направлением векто­ра В неоднородного магнитного поля, индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то r и h уменьшаются с ростом В. На этом основана фокусировка заряженных частиц в магнитном поле .

В пределах электростатики невозможно дать ответ на вопрос, где сосредоточена энергия конденсатора. Поля и заряды, их образовавшие, не могут существовать обособленно. Их не разделить. Однако переменные поля могут существовать независимо от возбуждавших их зарядов (излучение солнца, радиоволны, …), и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является электростатическое поле .

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу dА . Работа, совершенная системой, определяется убылью энергии взаимодействия -dW зарядов

.

(5.5.1)

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r 12 , численно равна работе по перемещению заряда q 1 в поле неподвижного заряда q 2 из точки с потенциалом в точку с потенциалом :

.

(5.5.2)

Удобно записать энергию взаимодействия двух зарядов в симметричной форме

.

(5.5.3)

Для системы из n точечных зарядов (рис. 5.14) в силу принципа суперпозиции для потенциала, в точке нахождения k -го заряда, можно записать:

Здесь φ k , i - потенциал i -го заряда в точке расположения k -го заряда. В сумме исключен потенциал φ k , k , т.е. не учитывается воздействие заряда самого на себя, равное для точечного заряда бесконечности.

Тогда взаимная энергия системы n зарядов равна:

(5.5.4)

Данная формула справедлива лишь в случае, если расстояние между зарядами заметно превосходит размеры самих зарядов.

Рассчитаем энергию заряженного конденсатора. Конденсатор состоит из двух, первоначально незаряженных, пластин. Будем постепенно отнимать у нижней пластины заряд dq и переносить его на верхнюю пластину (рис. 5.15).

В результате между пластинами возникнет разность потенциалов При переносе каждой порции заряда совершается элементарная работа

Воспользовавшись определением емкости получаем

Общая работа, затраченная на увеличение заряда пластин конденсатора от 0 до q , равна:

Эту энергию можно также записать в виде