Решение задач на "сплавы", "смеси", "растворы". Решение задач на сплавы, смеси и растворы

«Применение сплавов» - Применение сплавов металлов в медицине. Изготовление монет. Виды железа и стали. Применение металлов и сплавов. Монеты. Сплавы в нашей жизни. Сплавы металлов. Металлы и их сплавы. Применение металлов в искусстве. Металлы в технике. Изготовление ювелирных изделий. Умение добывать и обрабатывать металлы.

«Сплавы металлов» - Алюминий. Крепче стали не видел Восток, Крепче стали и горше печали.». Средства товарного обмена – деньги. Столовые приборы и художественные изделия. Кровопролитные войны, ограбление… Латунь – медный сплав, содержащий от 10 до 50% цинка. А. Валентинов « Металла огненный поток». « Оловянная чума». Сталь.

«Аморфные сплавы» - Структура НКМ. Физические свойства аморфных сплавов. Проблема- неустойчивость нанокристаллической структуры. 1. Закалка из жидкого состояния. Аморфные и нанокристаллические металлы и сплавы. Плотность АС на 1-2% ниже кристаллических аналогов, прочность выше в 5-10 раз! Структура аморфных сплавов. Нанокристаллические металлические материалы.

«Металлы и сплавы» - Химические свойства металлов. По назначению легированные стали подразделяют на: Термическая обработка металлов. Углеродистые Легированные. Сплавы на основе меди. Механические свойства металлов. Отделка металлических изделий. Передельные Литейные Высокопрочные Ковкие Легированные. Способы декорирование металлических изделий.

«Свойства сплавов» - Пластинки победита напаиваются на державки режущего инструмента медью. Твёрдый сплав применяется при бурении горных пород. Сплавы железа. Максимальная рабочая температура - 300 °C. Сплавы. Металлический блеск. При создании твёрдого сплава используются методы порошковой металлургии. Победит изготовляется в виде пластинок различной формы и размера.

«Химия сплавы» - «Найди ошибку». Статья отнесена к разделу: Преподавание химии. Цель работы состоит в ознакомлении с образцами металлов и сплавами. «Классификация сплавов». 1.Сплавление (например. Заполните таблицу: Изделия из серебра и бронзы. Применение. Повторение. Самый, самый, самый. Уметь: выделять главное, сравнивать и обобщать;

Всего в теме 7 презентаций

Задачи, связанные с понятием “концентрация” и “процентное содержание”, являются традиционно трудными для обучающихся. В них речь идет о сплавах, растворах и смесях, которые получаются при сплавлении или смешивании различных веществ. При решении таких задач принимаются некоторые допущения. Первое: если смешиваются два раствора, объем которых х и у , то получившаяся смесь будет иметь объем х + у . Второе: получившиеся смеси и сплавы имеют однородную консистенцию.

В смесях и растворах содержится некоторый объем чистого вещества. Отношение объема чистого вещества к объему всего раствора называется объемной концентрацией . (Содержание чистого вещества в единице объема). Концентрация, выраженная в процентах, называется процентным содержанием . При решении таких задач удобно пользоваться таблицей, которая помогает понять задачу и по которой легче составить уравнение или систему. В работе приведены решения нескольких задач, а также предложены задачи для самостоятельного решения. Для удобства к задачам прилагаются ответы.

1. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1: 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2: 3. Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17: 27?

Решение: Пусть взято х частей первого сплава и у частей второго. В х частях первого сплава содержится частей первого металла и частей второго. В y частях второго сплава содержится частей первого металла и частей второго.

Составим таблицу:

Из таблицы видно, что можно получить три уравнения. 1) х + у = 44 , 2)

3) . Решив систему из двух уравнений, получим ответ.

Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава.

2. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго – 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цинка стало 50%. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же как в первом, то сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60% цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором слитках.

Решение:

По таблице составим систему уравнений
прибавим к первому уравнению второе, получим

Ответ: 40% и 65%.

Имеется два разных сплава меди со свинцом. Если взять 1 кг первого сплава и 1 кг второго сплава и переплавить их, то получится сплав с содержанием 65% меди. Известно, что если взять кусок № 1 и кусок № 2 первого и второго сплавов соответственно, имеющих суммарную массу 7 кг, и переплавить их, то получится сплав с содержанием 60% меди. Какова масса меди, содержащаяся в сплаве, получающемся при совместной переплавке куска первого сплава, равного по массе куску № 2, и куска второго сплава, равного по массе куску № 1?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу

, найти надо значение выражения 0,01n у + 0,01m х . Представим его в виде 0,01(n у + m х ). Решим систему уравнений.

. Умножим первое уравнение на третье и вычтем второе.

Ответ: 4,9 кг.

4. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1: 2, а во втором 2: 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Решение: Пусть в первом слитке содержится х кг золота и 2х кг меди. Тогда масса всего слитка 3х кг. Пусть во втором слитке содержится 2у кг золота и 3у кг меди. Тогда масса всего слитка 5у кг. Составим таблицу:

По данным таблицы составим систему уравнений

Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

5. Имеется три слитка: первый слиток – сплав меди с никелем, второй – никель с цинком, третий цинка с медью. Если сплавить первый кусок со вторым, то процент меди в получившемся слитке будет в два раза меньше, чем он был в первом слитке. Если сплавить второй слиток с третьим, то процент никеля в получившемся слитке будет в три раза меньше, чем он был во втором слитке. Какой процент цинка будет содержать слиток, получившийся при сплаве всех трех слитков, если во втором слитке было 6% цинка, а в третьем – 11%?

Решение: Заметим, что во втором слитке нет меди, а если его сплавить с первым, в котором есть медь, то процент меди в новом сплаве будет в 2 раза меньше, чем он был в первом слитке, значит масса первого слитка равна массе второго. Пусть их масса будет х .

Если сплавить второй слиток, в котором есть никель, с третьим слитком, в котором никеля нет, то процент никеля в новом сплаве будет в 3 раза меньше, чем он был во втором слитке. Значит второй слиток по массе в 2 раза больше второго. Значит его масса будет 2х . Занесем данные в таблицу:

Ответ: 7%

6. В сосуде находится определенное количество смеси воды с кислотой. Чтобы уменьшить концентрацию кислоты на 34% (было p%, а стало p-34%) в сосуд надо долить 3 л воды, а чтобы уменьшить её на 17%, надо долить 1 л воды. Какова концентрация кислоты в сосуде?

Решение: Составим по условию задачи следующую таблицу:

Если к раствору кислоты добавить чистую воду, то изменится концентрация кислоты, а количество кислоты не меняется. На этом основании составим систему уравнений:

Ответ: 68%.

7. Имеется три слитка золота массой 2 кг, 3 кг и 5 кг с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток разделен на три куска и из 9 получившихся кусков получили три слитка массой 2 кг, 3 кг и 5 кг, но уже с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток, чтобы гарантировать равное процентное содержание золота в получившихся слитках независимо от его содержания в исходных слитках.

Решение: Процентное содержание золота в новых получившихся слитках2 кг, 3 кг и 5 кг будет равно процентному содержанию золота в слитке, который получится если просто сплавить исходные слитки массой 2 кг, 3 кг и 5 кг в десятикилограммовый кусок. Тогда золото входит в каждый новый слиток в отношении 2: 3: 5 . Значит нужно Каждый исходный слиток разделить на части пропорциональные этим числам. Всего частей 10. Получим 2: 10 * 2 = 0,4; 2: 10 * 3 = 0,6; 2: 10 * 5 = 1 и т.д. Представим этот результат в виде таблицы.

Задачи для самостоятельного решения

8. Из трех кусков сплавов меди и никеля с соотношением по массе этих металлов 2: 1, 3: 1, 5: 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 12 кг, а соотношение меди и никеля в нем составило 4:1. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 1,92 кг, 0,96 кг, 9,12 кг.

9. Из трех кусков сплавов серебра и меди с соотношением масс этих металлов 3:2, 2:3, 1:4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 22 кг, а соотношение серебра и меди в нем составило 1:1. Найти массу каждого исходного куска, если второй весил вдвое больше третьего. Ответ: 13,75 кг, 5,5 кг, 2,75 кг.

10. Из трех кусков сплавов олова и свинца с соотношением масс этих металлов 4: 1, 1: 1, 1: 4 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение олова и свинца в нем составило 2: 3. Найти массу каждого исходного куска, если первый весил вдвое больше второго.
Ответ: 6,4 кг, 3,2 кг, 14,4 кг.

11. Из трех кусков сплавов золота и серебра с соотношением масс этих металлов 1: 1, 1: 5, 5: 1 получили новый сплав. Его масса оказалась равной 24 кг, а соотношение золота и серебра в нем составило 2: 1. Найти массу каждого исходного куска, если третий кусок весил втрое больше первого.

12. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 20%, в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплава, чтобы получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?
Ответ: 3 кг, 7 кг.

13. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 40%, а во втором 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра?

14. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом – 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?
Ответ: 9 кг и 6 кг.

15. Имеются два сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом – 50% золота. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 42% золота?
Ответ: 15 кг.

16. Из молока, жирность которого 5%, делают творог, жирностью 0,5%. Определить, сколько творога получается из 1 тонны молока?
Ответ: 300 кг.

17. При смешивании растворов, содержащих 25% и 60% кислоты, получился раствор, содержащий 39% кислоты. Определить в какой пропорции были смешаны растворы?
Ответ: 3: 2.

18. Добытая руда содержит 21% меди, а обогащенная – 45%. Известно, что в процессе обогащения 60% добытой руды идет в отходы. Определить процентное содержание меди в отходах.
Ответ: 5%.

19. В 100 граммов 20%-ного раствора соли добавили 300 граммов ее 10%-ного раствора. Определить концентрацию полученного раствора.
Ответ: 12,5%.

20. Какое количество воды надо добавить к 100 граммам 70%-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5% раствор уксуса?
Ответ: 1300 гр.

21. Процентное содержание соли в растворе сначала снизилось на 20%, а затем повысилась на 20%. На сколько процентов изменилось первоначальное содержание соли?
Ответ: на 4%.

22. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составляло 2%.
Ответ: 60 кг.

23. Сплав весит 2 кг и состоит из серебра и меди, причем вес серебра составляет веса меди. Сколько килограммов серебра в данном сплаве?
Ответ: 0,25 кг.

24. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40% . Сколько нужно взять каждого из этих сортов металлолома, чтобы получить 140т стали с содержанием никеля 30%.
Ответ: 40 т и 100 т.

25. Кусок сплава меди с оловом весом 2 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?
Ответ: 1,5 кг.

26. Сколько чистого спирта надо прибавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
Ответ: 441 г.

27. Сплав из меди и цинка весом в 24 кг при погружении в воду потерял в своем весе Определить количество меди и цинка в этом сплаве, если известно, что медь теряет в воде своего веса, а цинк своего веса.
Ответ: 17 кг и 7 кг.

28. Имеются два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5: 11?
Ответ: 1 кг, 7 кг.

29. Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2: 3, а другая в отношении 3: 7. По сколько ведер надо взять из каждой бочки, чтобы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3: 5?
Ответ: 9 ведер из первой и 3 ведра из второй.

30. Два раствора, из которых первый содержал 800 г безводной серной кислоты, а второй 600 г безводной серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Определить вес первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10% больше, чем процент содержания безводной серной кислоты во втором.
Ответ: 4 кг и 6 кг.

31. Имелось два разных сплава меди. Процент содержания меди в первом сплаве был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором сплаве. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в первом и втором сплавах, если известно, содержание меди в первом сплаве было 6 кг, а во втором 12 кг.
Ответ: 20% и 60%.

32. 36 г цинка в воде весят 31 г, а 23 г свинца в воде весят 21 г. Сплав цинка и свинца массой 292 г в воде весит 261 г. Сколько цинка и сколько свинца содержится в сплаве?
Ответ: 108 г цинка и 184 г свинца.

33. В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 л кислоты. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 литров смеси. Сколько кислоты было первоначально в первом сосуде, если во втором сосуде после переливаний оказалось на 2 л меньше кислоты, чем в первом?
Ответ: 20 литров.

34. Имеется два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение золота к меди равно 1: 2, а во втором 2: 3. Если сплавить 1/3 первого слитка с 5/6 второго, то в получившемся слитке окажется столько золота, сколько было бы в первом меди, а если 2/3 первого слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?
Ответ: 1,2 кг и 2,4 кг.

35. Имеется два сосуда. В одном содержится три литра 100%-ной серной кислоты, а в другом два литра воды. Из первого сосуда во второй перелили один стакан кислоты, а затем из второго в первый – один стакан смеси. Эту операцию повторили еще два раза. В результате во втором сосуде образовалась 42%-ная кислота. Сколько серной кислоты в процентах содержится теперь в первом сосуде?
Ответ: 72%.

36. Имеется два куска металла массой 1 кг и 2 кг. Из этих кусков сделали два других: первый массой 0,5 кг, содержащий 40% меди, а второй массой 2,5 кг, содержащий 88% меди. Каково процентное содержание меди в исходных кусках?
Ответ: 40% и 100%.

37. Из колбы в пробирку отлили раствора соли. Раствор в пробирке выпаривали, пока процентное содержание соли в нем не увеличилось в два раза. Получившийся раствор вернули в колбу, что увеличило процентное содержание соли в находившемся в колбе растворе на 2 %. Какое процентное содержание соли было в растворе первоначально?
Ответ: 10%.

Литература:

1. Шарыгин И.Ф. “Математика для поступающих в ВУЗы”. Москва, Дрофа, 2000 г.
2. Сканави М.И. “2500 задач по математике для поступающих вВУЗы”. Москва, Оникс, 2003 г.
3. Черкасов О., Якушев А. “Математика”. Москва, Айрис, 2000 г.
4. Белоносов В.С., Фокин М.В. “Задачи вступительных экзаменов по математике.” Новосибирск, издательство НГУ, 1995 г.

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.

Гасинов Батраз

РСО – Алания, г. Владикавказ

МОУ СОШ № 46 имени И.М. Дзусова, 7 класс

Рассмотрим условия разнообразных задач на сплавы, смеси и растворы. Конечно, на первый взгляд, эти условия сильно отличаются друг от друга.

№1 Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг.

№2 Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другим – 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относились бы как 1:4?

№3 Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4 , то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 32%. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

№4 Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра и 50% меди, второй – 20% серебра и 80% меди, третий – 20% золота, 30% серебра и 50% меди. Сплавив их, получили сплав, содержащий 5% золота. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание серебра может быть в этом сплаве?

№5 К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.

№6 Смешали 30% и 5% растворы соли с 500г воды и получили 1000г 10% раствора соли. Найти массы двух растворов соли, слитых в общий раствор.

Если решать такие задачи, используя каждый раз смысл процентного содержания компонента в сплаве, в смеси или в растворе, то решение получается достаточно трудоёмким.

Решение задач данного типа получается намного проще, если установить некоторые общие подходы в этих решениях.

А для этого рассмотрим следующие две задачи.

Задача №1.

Смешали m 1 граммов a 1 % раствора кислоты c m 2 граммами a 2 % раствора той же кислоты и получили с % раствор. Установите, что изменения концентраций в вступающих долях обратно пропорциональны массам соответствующих долей.

Доказательство.

Пусть a 1. > a 2 , тогда a 1. >с > a 2 .

Значит, нужно доказать равенство =.

Для этого используем смысл концентрации.

Найдем массу концентрированной кислоты в каждое из смешиваемых растворов.

a 1 % от m 1 г,

от m 1 г; m 1 г – содержится в первом растворе.

a 2 % от m 2 г,

от m 2 г; m 2 г – содержится во втором растворе.

Тогда в смешанном растворе масса концентрированной кислоты будет:

(г).

Так как m 1 + m 2 есть масса смеси, то c = %= %.

найдем изменения концентраций в вступающих долях.

a 1 - c =

Найдем теперь отношение полученных изменений концентраций.

, то есть . Что и требовалось доказать.

Для использования этой пропорции к решению задач удобна следующая схема:

А 1 % ( m 1 г) (а 1 -с) %

с %

А 2 % ( m 2 г) (с-а 2 ) % ,

заполнение, которой облегчает ход решения.

Перейдем к более сложным сплавам.

Задача № 2. Имеются три сплава меди и цинка. Процент содержания меди в первом сплаве с массой m 1 кг равен а 1 %, во втором сплаве с массой m 2 кг содержится а 2 % меди, в третьем массой m 3 кг - а 3 % меди. Найдите процентное содержание меди в сплаве, полученном из этих трех сплавов.

Решение. Представим, что вначале сплавили два первых сплава. Условимся обозначать процентное содержание сплава через с ( n ) , если сплавлены n сплавов. Значит, сейчас ищем с (2) . По решению предыдущей задачи имеем:

(%).

Выходит, что процентное содержание сплава из двух равно , а масса его равна m 1 + m 2 .

Сплавим с этим сплавом из двух третий сплав, получим:

.

Замечание.

Методом математической индукции можно доказать, что при смешивании n сплавов определенного вещества результативное процентное содержание имеет вид (1).

Доказательство.

Шаг 1. Равенство (1) верно при n =2, то есть .

Шаг 2 . Допустим, что (1) верно при n = k , то есть (2).

Шаг 3 . Докажем, что из справедливости равенства (1) при n = k вытекает его справедливость при n = k +1.

Пусть сплав массой m 1 + m 2 +…+ m k и содержащий % некоторого вещества добавили m k +1 кг сплава того же вещества с процентным содержанием a k +1.

Тогда имеем:

А это означает, что формула (1) верна при любом n .

В схеме

А 1 % ( m 1 г) (а 1 -с) %

с %

А 2 % ( m 2 г) (с-а 2 ) % , решения задач двух смесей, сплавов или растворов, а также и в формуле процентного содержания вещества при более сложных смесях числа процентов a n можно заменить дробями d n , массы m n – заменять объемами v n или одновременно производить замены и тех и других величин:

d 1 ( v 1 ) d 1 - d

d 2 ( v 2 ) d - d 2 , то есть .

, смотря на условия конкретных задач.

Решение №1.

С учетом равенства a 1 = a 2 +25 подготовим данные условия к заполнению таблицы

А 1 % ( m 1 г) (а 1 -с) %

с %

А 2 % ( m 2 г) (с-а 2 ) %

m 1 кг – 100%;

m 2 кг- (а 2 +25)%;

m 2 кг – 100%

8 кг- а 2 %

а 1 -с=(а 2 +25)-30=(а 2 -5)%

с-а 2 =30-а 2

(а 2 +25)%( )кг-(а 2 -5)%

А 2 %( )кг-(30-а 2 )%

а 2 =-20;25.

Из этих значений подходит только а 2 =25%.

При этом (кг), и (кг).

Ответ: m 1 =8кг; m 2 =32кг.

Решение № 2.

Заменим запись процентов в таблице просто отношением. Тогда в первом сплаве содержание золота будет , во втором - , а в новом - .