Энергия системы зарядов, уединенного проводника, конденсатора.

1. Энергия системы неподвижных точечных зарядов . Как мы уже знаем, электростатические силы взаимодействия консервативны; значит, система зарядов обладает потенциальной энергией. Будем искать потенциальную энергию системы двух неподвижных точечных зарядов Q 1 и Q 2 , которые находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией (используем формулу потенциала уединенного заряда): где φ 12 и φ 21 - соответственно потенциалы, которые создаются зарядом Q 2 в точке нахождения заряда Q 1 и зарядом Q 1 в точке нахождения заряда Q 2 . Согласно, и поэтому W 1 = W 2 = W и Добавляя к нашей системе из двух зарядов последовательно заряды Q 3 , Q 4 , ... , можно доказать, что в случае n неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы точечных зарядов равна (1) где φ i - потенциал, который создается в точке, где находится заряд Q i , всеми зарядами, кроме i-го. 2. Энергия заряженного уединенного проводника . Рассмотрим уединенный проводник, заряд, потенциал и емкость которого соответственно равны Q, φ и С. Увеличим заряд этого проводника на dQ. Для этого необходимо перенести заряд dQ из бесконечности на уединенный проводник, при этом затратив на это работу, которая равна ");?>" alt="элементарная работа сил электрического поля заряженного проводника"> Чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до φ, нужно совершить работу (2) Энергия заряженного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник: (3) Формулу (3) можно также получить и условия, что потенциал проводника во всех его точках одинаков, так как поверхность проводника является эквипотенциальной. Если φ - потенциал проводника, то из (1) найдем где Q=∑Q i - заряд проводника. 3. Энергия заряженного конденсатора . Конденсатор состоит из заряженных проводников поэтому обладает энергией, которая из формулы (3) равна (4) где Q - заряд конденсатора, С - его емкость, Δφ - разность потенциалов между обкладками конденсатора. Используя выражение (4), будем искать механическую (пондеромоторную) силу , с которой пластины конденсатора притягиваются друг к другу. Для этого сделаем предположение, что расстояние х между пластинами изменилось на величину dx. Тогда действующая сила совершает работу dA=Fdx вследствие уменьшения потенциальной энергии системы Fdx = - dW, откуда (5) Подставив в (4) выражение для емкости плоского конденсатора, получим (6) Продифференцировав при фиксированном значении энергии (см. (5) и (6)), получим искомую силу: где знак минус указывает, что сила F является силой притяжения. 4. Энергия электростатического поля . Используем выражение (4), которое выражает энергию плоского конденсатора посредством зарядов и потенциалов, и спользуя выражением для емкости плоского конденсатора (C=ε 0 εS/d) и разности потенциалов между его обкладками (Δφ=Ed. Тогда (7) где V= Sd - объем конденсатора. Формула (7) говорит о том, что энергия конденсатора выражается через величину, характеризующую электростатическое поле, - напряженность Е. Объемная плотность энергии электростатического поля (энергия единицы объема) (8) Выражение (8) справедливо только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение: Р = æε 0 Е . Формулы (4) и (7) соответственно выражают энергию конденсатора через заряд на его обкладках и через напряженность поля. Возникает вопрос о локализации электростатической энергии и что является ее носителем - заряды или поле? Ответ на этот вопрос может дать только опыт. Электростатика занимается изучением постоянных во времени поля неподвижных зарядов, т. е. в ней поля и попродившие их заряды неотделимы друг от друга. Поэтому электростатика ответить на данный вопрос не может. Дальнейшее развитие теории и эксперимента показало, что переменные во времени электрические и магнитные поля могут существовать отдельно, независимо от возбудивших их зарядов, и распространяются в пространстве в виде электромагнитных волн, которые способны переносить энергию. Это убедительно подтверждает основное положение теории близкодействия о том, что энергия локализована в поле и что носителем энергии является поле .

Энергия заряженного проводника. Поверхность проводника является эквипотенциальной. Поэтому потенциалы тех точек, в которых находятся точечные заряды dq , одинаковы и равны потенциалу проводника. Заряд q , находящийся на проводнике, можно рассматривать как систему точечных зарядов dq . Тогда энергия заряженного проводника = Энергия заряженного конденсатора. Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд +q , равен , а потенциал обкладки, на которой находится заряд -q , равен . Энергия такой системы =

Энергия электрического поля. Энергию заряженного конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками. Сделаем это на примере плоского конденсатора. Подстановка выражения для емкости в формулу для энергии конденсатора дает = = Oбъемная плотность энегии электрического поля равна C учетом соотношения D= можно записать ; Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно найти энергию поля , заключенного в любом объеме V . Для этого нужно вычислить интеграл: W=

30. Электромагнитная индукция. Опыты Фарадея, правило Ленца, формула для ЭДС электромагнитной индукции, трактовка Максвелла явления электромагнитной индукции Явление электромагнитной индукции открыто М. Фарадеем.Оно заключается в возникновении электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении во времени магнитного потока, пронизывающего контур. Магнитным потоком Φ через площадь S контура называют величину Ф=B*S*cosaгде B(Вб)– модуль вектора магнитной индукции, α – угол между вектором B и нормалью n к плоскости контура. Фарадей экспериментально установил, что при изменении магнитного потока в проводящем контуре возникает ЭДС индукции, равная скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус: Эта формула носит название закона Фарадея. Опыт показывает, что индукционный ток, возбуждаемый в замкнутом контуре при изменении магнитного потока, всегда направлен так, что создаваемое им магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, вызывающего индукционный ток. Это утверждение называется правилом Ленца. Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения энергии.1)Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле. Возникновение ЭДС индукции объясняется действием силы Лоренца на свободные заряды в движущихся проводниках. Сила Лоренца играет в этом случае роль сторонней силы.Рассмотрим в качестве примера возникновение ЭДС индукции в прямоугольном контуре, помещенном в однородное магнитное поле В перпендикулярное плоскости контура. Пусть одна из сторон контура длиной L скользит со скоростью v по двум другим сторонам.На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростью v зарядов, направлена вдоль проводника. Она играет роль сторонней силы. Ее модуль равен Fл=evB. Работа силы F Л на пути L равна A=Fл*L=evBL.По определению ЭДС. В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для инд можно придать привычный вид. За время Δt площадь контура изменяется на ΔS = lυΔt. Изменение магнитного потока за это время равно ΔΦ = BlυΔt. Следовательно, Для того, чтобы установить знак в формуле, нужно выбрать согласованные между собой по правилу правого буравчика направление нормали n и положительное направление обхода контура L Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.

Если сопротивление всей цепи равно R, то по ней будет протекать индукционный ток, равный I инд = инд /R. За время Δt на сопротивлении R выделится джоулево тепло .Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая ответственна за появление силы Ампера. модуль силы Ампера равен F A = I B l. Сила Ампера направлена навстречу движению проводника; поэтому она совершает отрицательную механическую работу. За время Δt эта работа . Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение . Полная работа силы Лоренца равна нулю. Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не являетсяпотенциальным . Его называют вихревым электрическим полем . Представление о вихревом электрическом поле было введено в физику великим английским физиком Дж. Максвеллом в 1861 г.Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея. Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

Рассмотрим заряженный уединённый проводник произвольной формы, помещённый в вакуум. Пусть заряд проводника равен q, а потенциал внешнего (исходного) электростатического поля равен . Потенциал бесконечно удалённой точки пространства принимаем равным нулю. Для точечного электрического заряда величины , находящегося в точке пространства, потенциал которой равен , произведение представляет собой работу, которую совершили бы силы электростатического поля по перемещению этого заряда из рассматриваемой точки в бесконечно удалённую точку пространства по произвольной траектории. Иначе, произведение можно интерпретировать как потенциальную энергию заряда в точке пространства, потенциал внешнего поля которой равен . В основе приведённого рассуждения лежит предположение о том, что в процессе перемещения сосредоточенного электрического заряда распределение потенциала внешнего электростатического поля остаётся неизменным. Это справедливо, поскольку внешнее по отношению к электрическому заряду электростатическое поле создаётся по условию сторонними неподвижными и не изменяющимися зарядами.

В случае разрядки уединённого проводника дело обстоит сложнее: суммарный заряд проводника создаёт вокруг себя электростатическое поле, изменение величины заряда на проводнике сказывается на распределении потенциала в пространстве. Благодаря этому работа сил электростатического поля по перемещению элементарного заряда с поверхности проводника в бесконечно удалённую точку зависит от величины остающегося на проводнике электрического заряда:

Таким образом, приращение потенциальной энергии заряда на уединённом проводнике можно описать уравнением

. (2)

Вспомним, что потенциал проводника связан с электрическим зарядом ёмкостью

(3)

Поскольку ёмкость определяется только формой проводника, её величину можно считать постоянной. Подставим соотношение (3) в уравнение (2):

Потенциальная энергия электрического заряда на уединённом проводнике оказывается равной

(5)

размерность потенциальной энергии – Дж. Можно подумать, что полученные соотношения содержат логическое противоречие: первое из выражений для W определено полностью, а второе и третье определены с точностью до произвольной постоянной. Это не так. Хотя для потенциальной энергии системы произвольное постоянное слагаемое не имеет существенного значения, заметим, что под величиной в этих соотношениях «скрывается» разность . Если об этом не забывать, недоразумений не возникает.

Выражение для потенциальной энергии заряда на уединённом проводнике можно преобразовать. Заметим, что величина заряда проводника определена соотношением

где - поверхностная плотность электрического заряда на поверхности проводника. Величина связана с величиной нормальной к поверхности компонентой вектора напряжённости электростатического поля около проводника:

(7)

Здесь - внешняя нормаль по отношению к проводнику. Поскольку на поверхности проводника потенциал сохраняет постоянное значение, а напряжённость электростатического поля можно выразить через градиент потенциала, то выражение для потенциальной энергии (5) можно переписать в виде:

. (8)

Теперь вспомним, что потенциал электростатического поля в вакууме вне проводника удовлетворяет уравнению Лапласа . Тогда в каждой точке пространства вне проводника справедливо уравнение:

Проинтегрируем это соотношение по объёму вне проводника и используем при этом математическую теорему Остроградского-Гаусса с учётом обращения в нуль вектора на бесконечно удалённой поверхности, в результате получим:

. (10)

В приведённом результате вектор является вектором внешней нормали по отношению к объёму вне проводника. Используя полученный результат в выражении (8) с учётом зависимости напряжённости поля от потенциала, получим окончательно:

. (11)

На первый взгляд, зависимость (11) получена в результате чисто математических преобразований. Но сам результат позволяет по-новому взглянуть на физический смысл соотношения (11): потенциальная энергия электрического заряда на уединённом проводнике конечных размеров выражается через параметры пространства вне проводника, через напряженность электростатического поля вне проводника. Возникает вопрос, взаимодействие электрических зарядов или составляющие электростатического поля обладают физической реальностью? В рамках электростатики на этот вопрос нет ответа. Обе интерпретации равноправны. Но в рамках электродинамики экспериментально показано, что электрическое поле является реально существующим.

Подынтегральная функция в соотношении (11) является объёмной плотностью энергии электрического поля. Её размерность – Дж/м 3 .

Зависимость (11) позволяет сформулировать новое определение электрической ёмкости уединённого проводника в вакууме:

Это выражение можно было бы написать и раньше, но смысл величины как интеграла от объёмной плотности энергии электрического поля, созданного проводником с потенциалом на его поверхности, вне проводника, был бы утерян, а без этого невозможно воспользоваться выражением (12) для конструктивного расчёта величины С .

1.4.2. Энергия заряженного проводника

Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными электрическими зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника, которая в данном случае аналогична потенциальной энергии в механике.

Рассмотрим проводник, имеющий электроемкость , заряди потенциал. Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда
из бесконечности на проводник равна

.

Для того, чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала , необходимо совершить работу
. Ясно, что энергия заряженного тела равна той работе, которую нужно совершить, чтобы зарядить это тело:
.

Энергию называют собственной энергией заряженного тела. Ясно, что собственная энергия есть не что иное, как энергия электростатического поля этого тела.

1.4.3. Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля

Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд
, равен, а потенциал обкладки, на которой находится заряд
,. Энергия такой системы зарядов, то есть равна собственной энергии системы зарядов, где- напряжение между обкладками конденсатора,
.

Рассмотрим плоский конденсатор. Энергия, заключенная в единице объема электростатического поля называется объемной плоскостью энергии. Эта объемная плоскость должна быть одинаковой во всех точках однородного поля, а полная энергия поля пропорциональна его объему. Известно, что
,
, тогда для энергии имеем:
, но
- объем электростатического поля между обкладками конденсатора, то есть
. Тогда объемная плотность энергииоднородного электростатического поля конденсатора равна
, и определяется его напряженностью или смещением. В случае неоднородных электрических полей

Найдем энергию сферического конденсатора. На расстоянии от центра заряженного шара напряженность его электростатического поля равна
. Рассмотрим бесконечно тонкий шаровой слой, заключенный между сферами радиусови
. Объем такого слоя:
. Энергия слоя
следовательно,

.

Тогда полная энергия заряженного шара равна:

,

где - радиус шара. Емкость шара
, следовательно,
- энергия электростатического поля сферического конденсатора равна его собственной энергии, так как заряженное тело потому и обладает электрической энергией, что при его зарядке была совершена работа против сил создаваемого им электростатического поля.

1.4.4.Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике

Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик, находящийся во внешнем электрическом поле. Процесс поляризации связан с работой по деформации электронных орбит в атомах и молекулах и по повороту осей молекул-диполей вдоль поля. Ясно, что поляризованный диэлектрик должен обладать запасом электрической энергии.

Если поле напряженностью создано в вакууме,
, то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностьюравна:

Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой:
.

Рассмотрим диэлектрик с неполярными молекулами. Молекулы такого диэлектрика являются упругими диполями. Электрический момент упругого диполя, находящегося в поле с напряженностью , равен
, где- поляризуемость диполя, или в скалярной форме:

, (1.4.1)

где
- заряд и плечо диполя.

На заряд со стороны поля действует сила
, которая при увеличении длины диполя на
совершает работу
. Из выражения (1.4.1) получаем:
, поэтому

. (1.4.2)

Чтобы найти работу поля при деформации одного упругого диполя, надо проинтегрировать выражение (1.4.2):

.

Работа равна той потенциальной энергии, которой обладает упругий диполь в электрическом поле напряженностью. Пусть- число диполей в единице объема диэлектрика. Тогда потенциальная энергия всех этих диполей, то есть объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика равна:
. Однако
- модуль вектора поляризации, тогда
. Известно, что
, и
, тогда
, что и требовалось доказать.

11. Энергия заряженного проводника и конденсатора. Плотность энергии электростатического поля.

1. Энергия заряженного проводника и конденсатора.

Если уединенный проводник имеет заряд q, то вокруг него существует электрическое поле, потенциал которого на поверхности проводника равен , а емкость - С. Увеличим заряд на величину dq. При переносе заряда dq из бесконечности должна быть совершена работа равная . Но потенциал электростатического поля данного проводника в бесконечности равен нулю . Тогда

При переносе заряда dq с проводника в бесконечность такую же работу совершают силы электростатического поля. Следовательно, при увеличении заряда проводника на величину dq возрастает потенциальная энергия поля, т.е.

Проинтегрировав данное выражение, найдем потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его заряда от нуля до q:

Применяя соотношение , можно получить следующие выражения для потенциальной энергии W:

Для заряженного конденсатора разность потенциалов (напряжение) равна поэтому соотношение для полной энергии его электростатического поля имеют вид:

2. Плотность энергии электростатического поля.

Это физическая величина, численно равная отношению потенциальной энергии поля, заключенной в элементе объема, к этому объему. Для однородного поля объемная плотность энергии равна . Для плоского конденсатора, объем которого Sd, где S - площадь пластин, d - расстояние между пластинами, имеем:

С учетом, что и :

Или .

12. Носители тока в средах. Сила и плотность тока. Уравнение непрерывности. Электрическое поле в проводнике с током. Силовые линии электрического поля и линии тока.

Электрический ток - упорядоченное некомпенсированное движение свободных электрически заряженных частиц, например, под воздействием электрического поля. Такими частицами могут являться: в проводниках - электроны , в электролитах - ионы (катионы и анионы ), в газах - ионы и электроны , в вакууме при определенных условиях -электроны , в полупроводниках - электроны и дырки (электронно-дырочная проводимость).

Сила тока - скалярная физическая величина, определяемая отношением заряда Δq, проходящего через поперечное сечение проводника за некоторый промежуток времени Δt, к этому промежутку времени.

Единицей силы тока в СИ является ампер (А).

Если сила тока и его направление со временем не изменяются, то ток называется постоянным.

Единица силы тока - основная единица в СИ 1 А - есть сила такого неизменяющегося тока, который, проходя по двум бесконечно длинным параллельным прямолинейным проводникам очень маленького сечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывает силу взаимодействия между ними 2·10-7 Η на каждый метр длины проводников.

Рассмотрим, как зависит сила тока от скорости упорядоченного движения свободных зарядов.

Выделим участок проводника площадью сечения S и длиной Δl (рис. 1). Заряд каждой частицы q0. В объеме проводника, ограниченном сечениями 1 и 2, содержится nSΔl частиц, где n - концентрация частиц. Их общий заряд

Рис. 1

Если средняя скорость упорядоченного движения свободных зарядов , то за промежуток времени все частицы, заключенные в рассматриваемом объеме, пройдут через сечение 2. Поэтому сила тока:

Таким образом, сила тока в проводнике зависит от заряда, переносимого одной частицей, их концентрации, средней скорости направленного движения частиц и площади поперечного сечения проводника.

Заметим, что в металлах модуль вектора средней скорости упорядоченного движения электронов при максимально допустимых значениях силы тока ~ 10-4 м/с, в то время как средняя скорость их теплового движения ~ 106 м/с.

Плотность тока j - это векторная физическая величина, модуль которой определяется отношением силы тока I в проводнике к площади S поперечного сечения проводника, т.е.

В СИ единицей плотности тока является ампер на квадратный метр (А/м2).

Как следует из формулы (1), . Направление вектора плотности тока совпадает с направлением вектора скорости упорядоченного движения положительно заряженных частиц. Плотность постоянного тока постоянна по всему поперечному сечению проводника.

Уравнение непрерывности.

Представим себе, в некоторой проводящей среде, где течет ток, замкнутую поверхность S . Для замкнутых поверхностей векторы нормалей, а следовательно, и векторы принято брать наружу, поэтому интеграл дает заряд, выходящий в единицу времени наружу из объема V , охваченного поверхностью S . Мы знаем, что плотность постоянного электрического тока одинакова по всему поперечному сечению S однородного проводника. Поэтому для постоянного тока в однородном проводнике с поперечным сечением S сила тока:

Пусть S – замкнутая поверхность, а векторы всюду проведены по внешним нормалям . Тогда поток вектора сквозь эту поверхность S равен электрическому току I , идущему вовне из области, ограниченный замкнутой поверхностью S . Следовательно, согласно закону сохранения электрического заряда, суммарный электрический заряд q , охватываемый поверхностью S , изменяется за время на , тогда в интегральной форме можно записать.