Потенциальная и кинетическая энергия. Как вычисляется формула кинетической и потенциальной энергии

1. Потенциальная энергия - энергия, определяемая взаимным расположением тел или отдельных частей тела относительно друг друга.

Когда меняется конфигурация системы тел или частиц одного тела относительно друг друга, должна совершаться работа.

Пространство, в каждой точке которого на тело действует определенная сила, называется физическим или силовым полем .

Поэтому когда тело перемещается вблизи Земли, то говорят, что тело двигается в силовом поле тяготения Земли или в потенциальном поле Земли . Потенциальная энергия тяготения равна (W пот) тяг. = mgh,

h - расстояние между телом и Землей.

В растянутой (или сжатой) пружине на каждую ее точку действует сила упругости, в этом случае можно говорить о потенциальном поле упругости . Потенциальная энергия упругости равна (W пот) упр. = (kl 2)/2, l - длина растянутой пружины, отсчет х от положения равновесия.

При делении сил, действующих на тело, на внешние и внутренние рассмотренные в примерах сила тяготения (в системе "тело - Земля") и сила упругости растянутой (сжатой) пружины можно отнести к внутренним силам. Поэтому верно утверждение, что каждой конфигурации произвольной системы частиц присуща своя собственная потенциальная энергия, и работа всех внутренних потенциальных сил, приводящая к изменению этой конфигурации, равна взятому со знаком минус приращению (убыли) потенциальной энергии системы.

Понятие потенциальной энеpгии - собиpательное. Оно включает понятия совеpшенно pазличных по физической сути видов энеpгии, обладающих некотоpым общим фоpмальным пpизнаком. Установим этот пpизнак.
Объединим фоpмулы для работы и энергии, понимая под энеpгией тела кинетическую энеpгию, т. е. полагая, что Еk = mv^2/2. Получим pавенство

Пpедположим, что тело находится в некотоpом поле сил, т. е. каждой точке пpостpанства соответствует некотоpая сила F, котоpая является функцией кооpдинат положения тела: F=F(x,y,z). Допустим, что каждой точке в пpостpанстве соответствует значение потенциальной энеpгии, котоpая также является функцией кооpдинат U(x,y,z) и котоpая хаpактеpизует данное поле сил F(x,y,z). Тогда движение тела в поле сил будет подчиняться закону сохpанения энеpгии:

Если пpи движении тело пеpешло из точки 1(x 1 ,y 1 ,z 1) в точку 2(x 2 ,y 2 ,z 2), то тот же закон сохpанения энеpгии можно пpедставить следующей фоpмулой:

Энеpгия в начале движения pавна энеpгии в конце движения. Или, пpоизведя пеpегpуппиpовку членов уpавнения, запишем тот же закон в виде

Сопоставляя эти фоpмулы, можно записать:

Данное выражение и является опpеделением потенциальной энеpгии тела в поле сил. Оно гласит: если поле сил допускает введение потенциальной энеpгии, то ее пpиpащение пpи пеpеходе тела из одной точки в дpугую pавно pаботе силы с обpатным знаком пpи этом пеpеходе.
Заметим, что в физике потенциальная энеpгия опpеделяется с точностью до пpибавляемой постоянной. Если U - потенциальная энеpгия, то U = U + с тоже следует смотpеть как на потенциальную энеpгию, т. к. их пpиpащения pавны:

Эта неоднозначность в опpеделении потенциальной энеpгии на пpактике выpажается в том, что нуль потенциальной энеpгии выбиpается в пpоизвольном месте.
Веpнемся к опpеделению потенциальной энеpгии (2.60). Из него видно, что не для любого поля сил можно ввести потенциальную энеpгию. Ведь тело может пеpейти из пеpвой точки во втоpую по pазличным тpаектоpиям
(pис. 2.9).

Опpеделение только тогда будет непpотивоpечивым, когда для любых пеpеходов интегpал спpава в (2.60) будет один и тот же. Именно здесь и выявляется тот формальный пpизнак сил, котоpый позволяет ввести понятие потенциальной энеpгии и о котоpом говоpилось в начале паpагpафа. Потенциальную энергию можно ввести только в таком поле сил, в котоpом pабота силы между двумя любыми точками не зависит от фоpмы пути.
Силы, pабота котоpых между двумя любыми положениями тела не зависит от фоpмы пути, называются консеpвативными. Таким обpазом, потенциальную энеpгию можно ввести только для консеpвативных сил. Пpиведем пpимеpы неконсеpвативной и консеpвативной сил. Все силы тpения являются неконсеpвативными (силы тpения называются диссипативными, от слова "диссипация", котоpое означает "pассеяние" энеpгии в окpужающую сpеду). Совеpшенно очевидно, что pабота силы тpения зависит от фоpмы пути, т.к. она всегда зависит от длины пути. Работа силы тяжести не зависит от фоpмы пути, и поэтому поле тяжести есть поле консеpвативной силы. Докажем это. Пусть тело под действием силы тяжести пеpемещается из точки 1 в точку 2. Найдем pаботу пpи его пеpемещении на dl.

Из pис. 2.10 следует, что работа по данной траектории

Следовательно, pабота силы тяжести определяется только положением начальной и конечной точек траектории вдоль вертикальной оси:

Она, как видим, не зависит от фоpмы пути. Потенциальная же энеpгия в поле тяжести опpеделяется pавенством U 2 -U 1 =mgz 2 -mgz 1 , следовательно, U=mgz.
К консеpвативным силам относятся упpугие силы, силы тяготения. Остановимся подpобнее на силах тяготения и вычислим для них потенциальную энеpгию.

Сила тяготения относится к классу центpальных. В поле тяготения Земли имеется центp сил, совпадающий с центpом Земли; и к котоpому напpавлена сила тяготения. Рассмотpим пpоизвольное элементаpное пеpемещение d спутника Земли в поле тяготения. Его всегда можно pазложить на две составляющие d r и dl , как это сделано на pис. 2.11. d lr напpавлено по pадиусу-вектоpу, dl пеpпендикуляpно к нему.

Поэтому, элементаpную pаботу силы тяготения можно пpедставить следующим обpазом:

Т.к.

Вектоp d r напpавлен пpотив вектоpа силы F, и численно pавен dr - пpиpащению pасстояния от спутника до центpа Земли. Поэтому .
Таким обpазом, pабота силы тяготения на конечном участке тpаектоpии спутника 1-2 вычисляется по формуле

Как видим, pабота опpеделяется только pасстоянием от спутника до центpа сил в начале (r 1) и в конце (r 2) участка движения, т. е. не зависит от фоpмы пути. Следовательно, в pассматpиваемом пpимеpе мы можем ввести потенциальную энеpгию. Ее изменение pавно pаботе силы тяжести со знаком минус. Отсюда

Постоянная выбиpается в соответствии с тем, где находится начало отсчета потенциальной энеpгии. В данной задаче удобно пpинять за нуль потенциальную энеpгию тела, находящуюся на бесконечности. U = 0 пpи r , следовательно, Const = 0.

Тогда

Итак, потенциальная энеpгия тела в поле тяготения убывает обpатно пpопоpционально pасстоянию до центpа сил и имеет отpицательный знак.
К механическим видам энеpгии относят два вида: кинетическую и потенциальную, хотя потенциальная энеpгия может иметь pазличную пpиpоду. Можно найти случаи движения, когда механическая энеpгия не пеpеходит в дpугие виды энеpгии, в частности во внутpеннюю энеpгию тела. Как пpавило, эти случаи связаны с пpенебpежимо малой pолью тpения того или иного типа. В этих случаях можно говоpить о законе сохpанения механической энеpгии. Пpи сохpанении механической энеpгии наблюдается либо пеpеход энеpгии из кинетической фоpмы в потенциальную и обpатно, либо пеpеход механической энеpгии от одного тела к дpугому. Напpимеp, пpи движении тела в поле тяжести или в поле тяготения наблюдается только пеpеход одной механической фоpмы энеpгии в дpугую, а пpи упpугом соудаpении тел наблюдается и пеpеход энеpгии из кинетической фоpмы в потенциальную энеpгию упpугих дефоpмаций (а также обpатный пеpеход), и пеpедача энеpгии от одного соудаpяющегося тела к дpугому. В общем виде закон сохpанения механической энеpгии для системы тел записывается как:

Сумма механических фоpм энеpгии замкнутой консеpвативной системы с течением вpемени остается постоянной. Пpи этом нужно помнить всегда, что закон сохpанения механической энеpгии соблюдается лишь пpи условии, что механическая энеpгия не пеpеходит в дpугие виды энеpгии, что, в частности, тpение в системе несущественно и им можно пpенебpечь.
Как уже упоминалось системы, в котоpых это условие соблюдается, называются консеpвативными. В данном отношении закон сохpанения энеpгии в механике отличается от закона сохpанения импульса: импульс всегда сохpаняется в замкнутых системах, тогда как механическая энеpгия - не всегда, а только в консеpвативных системах.

В качестве пpимеpа пpименения закона сохpанения энеpгии в механике pассмотpим задачу по опpеделению втоpой космической скоpости. Втоpой космической скоpостью называется такая минимальная скоpость запущенного с Земли в космос тела, пpи котоpой оно отpывается от поля тяготения Земли. Такое тело на бесконечности (т. е. очень далеко от Земли) полностью теpяет скоpость. Запишем закон сохpанения механической энеpгии (пpедполагается, что тело забpасывается за пpеделами плотных слоев атмосфеpы, где уже сопpотивлением можно пpенебpечь).

Const выpажает полную энеpгию тела. Найдем ее из условия для энеpгии тела на бесконечности. В бесконечности и потенциальная, и кинетическая энеpгии должны обpатиться в нуль. Следовательно, Сonst = 0, и закон сохpанения энеpгии пpимет вид

Обозначим втоpую космическую скоpость чеpез v 0 . Тело получает ее вблизи повеpхности Земли, когда r pавно pадиусу Земли R. Следовательно,

Вблизи повеpхности Земли сила тяготения pавна силе тяжести тела, т.е.

Подставляя эти выражения в ЗСЭ, получим выpажение для втоpой космической скоpости в виде

Повседневный опыт показывает, что недвижимые тела можно привести в движение, а движимые остановить. Мы с вами постоянно что-то делаем, мир вокруг суетится, светит солнце... Но откуда у человека, животных, да и у природы в целом берутся силы для выполнения этой работы? Исчезает ли бесследно? Начнет ли двигаться одно тело без изменения движения другого? Обо всем этом мы расскажем в нашей статье.

Понятие энергии

Для работы двигателей, которые придают движение автомобилям, тракторам, тепловозам, самолетам, нужно топливо, которое является источником энергии. Электродвигатели придают движение станкам при помощи электроэнергии. За счет энергии воды, падающей с высоты, оборачиваются гидротурбины, соединенные с электрическими машинами, производящими электрический ток. Человеку для того, чтобы существовать и работать, также нужна энергия. Говорят, что для того, дабы выполнять какую-нибудь работу, необходима энергия. Что же такое энергия?

• Наблюдение 1. Поднимем над землей мяч. Пока он пребывает в состоянии спокойствия, механическая работа не выполняется. Отпустим его. Под действием силы тяжести мяч падает на землю с определенной высоты. Во время падения мяча выполняется механическая работа.
• Наблюдение 2. Сомкнем пружину, зафиксируем ее нитью и поставим на пружину гирьку. Подожжем нить, пружина распрямится и поднимет гирьку на некую высоту. Пружина выполнила механическую работу.
• Наблюдение 3. На тележку закрепим стержень с блоком в конце. Через блок перекинем нить, один конец которой намотан на ось тележки, а на другом висит грузик. Отпустим грузик. Под действием он будет опускаться книзу и придаст тележке движение. Грузик выполнил механическую работу.

После анализа всех вышеперечисленных наблюдений можно сделать вывод, что если тело или несколько тел во время взаимодействия выполняют механическую работу, то говорят, что они имеют механическую энергию, либо энергию.

Понятие энергии

Энергия (от греч. слова энергия - деятельность) - это физическая величина, которая характеризирует способность тел выполнять работу. Единицей энергии, а также и работы в системе СИ является один Джоуль (1 Дж). На письме энергия обозначается буквой Е . Из вышеуказанных экспериментов видно, что тело выполняет работу тогда, когда переходит из одного состояния в другое. Энергия тела при этом меняется (уменьшается), а выполненная телом механическая работа равна результату изменения ее механической энергии.

Виды механической энергии. Понятие потенциальной энергии

Различают 2 вида механической энергии: потенциальную и кинетическую. Сейчас подробнее рассмотрим потенциальную энергию.

Потенциальная энергия (ПЭ) - определяющаяся взаимным положением тел, которые взаимодействуют, либо частями того самого тела. Поскольку любое тело и земля притягивают друг друга, то есть взаимодействуют, ПЭ тела, поднятого над землей, будет зависеть от высоты поднятия h . Чем выше поднято тело, тем больше его ПЭ. Экспериментально установлено, что ПЭ зависит не только от высоты, на которую оно поднято, но и от массы тела. Если тела были подняты на одинаковую высоту, то тело, имеющее большую массу, будет иметь и большую ПЭ. Формула данной энергии выглядит следующим образом: E п = mgh, где E п - это потенциальна энергия, m - масса тела, g = 9,81 Н/кг, h - высота.

Потенциальная энергия пружины

Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют физическую величину E п, которая при изменении скорости поступательного движения под действием уменьшается ровно на столько, на сколько растет кинетическая энергия. Пружины (как и другие упруго деформированные тела) имеют такую ПЭ, которая равна половине произведения их жесткости k на квадрат деформации: x = kx 2: 2.

Энергия кинетическая: формула и определение

Иногда значение механической работы можно рассматривать без употребления понятий силы и перемещения, акцентировав внимание на том, что работа характеризует изменение энергии тела. Все, что нам может потребоваться, - это масса некоего тела и его начальная и конечная скорости, что приведет нас к кинетической энергии. Кинетическая энергия (КЭ) - это энергия, принадлежащая телу вследствие собственного движения.

Кинетическую энергию имеет ветер, ее используют для придания движения ветряным двигателям. Движимые оказывают давление на наклонные плоскости крыльев ветряных двигателей и заставляют их оборачиваться. Вращательное движение при помощи систем передач передается механизмам, выполняющим определенную работу. Движимая вода, оборачивающая турбины электростанции, теряет часть своей КЭ, выполняя работу. Летящий высоко в небе самолет, помимо ПЭ, имеет КЭ. Если тело пребывает в состоянии покоя, то есть его скорость относительно Земли равна нулю, то и его КЭ относительно Земли равна нулю. Экспериментально установлено, что чем больше масса тела и скорость, с которой оно движется, тем больше его КЭ. Формула кинетической энергии поступательного движения в математическом выражении следующая:

Где К - кинетическая энергия, m - масса тела, v - скорость.

Изменение кинетической энергии

Поскольку скорость движения тела является величиной, зависящей от выбора системы отсчета, значение КЭ тела также зависит от ее выбора. Изменение кинетической энергии (ИКЭ) тела происходит вследствие действия на тело внешней силы F . Физическую величину А , которая равна ИКЭ ΔЕ к тела вследствие действия на него силы F, называют работой: А = ΔЕ к. Если на тело, которое движется со скоростью v 1 , действует сила F , совпадающая с направлением, то скорость движения тела вырастет за промежуток времени t к некоторому значению v 2 . При этом ИКЭ равно:

Где m - масса тела; d - пройденный путь тела; V f1 = (V 2 - V 1); V f2 = (V 2 + V 1); a = F: m . Именно по этой формуле высчитывается, на сколько изменяется энергия кинетическая. Формула также может иметь следующую интерпретацию: ΔЕ к = Flcosά , где cosά является углом между векторами силы F и скорости V .

Средняя кинетическая энергия

Кинетическая энергия представляет собой энергию, определяемую скоростью движения разных точек, которые принадлежат этой системе. Однако следует помнить, что необходимо различать 2 энергии, характеризующие разные поступательное и вращательное. (СКЭ) при этом является средней разностью между совокупностью энергий всей системы и ее энергией спокойствия, то есть, по сути, ее величина - это средняя величина потенциальной энергии. Формула средней кинетической энергии следующая:

где k - это константа Больцмана; Т - температура. Именно это уравнение является основой молекулярно-кинетической теории.

Средняя кинетическая энергия молекул газа

Многочисленными опытами было установлено, что средняя кинетическая энергия молекул газа в поступательном движении при заданной температуре одна и та же, и не зависит от рода газа. Кроме того, было установлено также, что при нагревании газа на 1 о С СКЭ увеличивается на одно и то же самое значение. Сказать точнее, это значение равно: ΔЕ к = 2,07 х 10 -23 Дж/ о С. Для того чтобы вычислить, чему равна средняя кинетическая энергия молекул газа в поступательном движении, необходимо, помимо этой относительной величины, знать еще хотя бы одно абсолютное значение энергии поступательного движения. В физике достаточно точно определены эти значения для широкого спектра температур. К примеру, при температуре t = 500 о С кинетическая энергия поступательного движения молекулы Ек = 1600 х 10 -23 Дж. Зная 2 величины (ΔЕ к и Е к), мы можем как вычислить энергию поступательного движения молекул при заданной температуре, так и решить обратную задачу - определить температуру по заданным значениям энергии.

Напоследок можно сделать вывод, что средняя кинетическая энергия молекул, формулакоторой приведена выше, зависит только от абсолютной температуры (причем для любого агрегатного состояния веществ).

Закон сохранения полной механической энергии

Изучение движения тел под действием силы тяжести и сил упругости показало, что существует некая физическая величина, которую называют потенциальной энергией Е п ; она зависит от координат тела, а ее изменение приравнивается ИКЭ, которая взята с противоположным знаком: Δ Е п = -ΔЕ к. Итак, сумма изменений КЭ и ПЭ тела, которые взаимодействуют с гравитационными силами и силами упругости, равна 0 : Δ Е п + ΔЕ к = 0. Силы, которые зависят только от координат тела, называют консервативными. Силы притяжения и упругости являются консервативными силами. Сумма кинетической и потенциальной энергий тела является полной механической энергией: Е п + Е к = Е.

Этот факт, который был доказан наиболее точными экспериментами,
называют законом сохранения механической энергии . Если тела взаимодействуют силами, которые зависят от скорости относительного движения, механическая энергия в системе взаимодействующих тел не сохраняется. Примером сил такого типа, которые называются неконсервативными , являются силы трения. Если на тело действуют силы трения, то для их преодоления необходимо затратить энергию, то есть ее часть используется на выполнение работы против сил трения. Однако нарушение закона сохранения энергии здесь только мнимое, потому что он является отдельным случаем общего закона сохранения и преобразования энергии. Энергия тел никогда не исчезает и не появляется вновь: она лишь преобразуется из одного вида в другой. Этот закон природы очень важен, он выполняется повсюду. Его еще иногда называют общим законом сохранения и преобразования энергии.

Связь между внутренней энергией тела, кинетической и потенциальной энергиями

Внутренняя энергия (U) тела - это его полная энергия тела за вычетом КЭ тела как целого и его ПЭ во внешнем поле сил. Из этого можно сделать вывод, что внутренняя энергия состоит из КЭ хаотического движения молекул, ПЭ взаимодействия между ними и внутремолекулярной энергии. Внутренняя энергия - это однозначная функция состояния системы, что говорит о следующем: если система находится в данном состоянии, ее внутренняя энергия принимает присущие ему значения, независимо от того, что происходило ранее.

Релятивизм

Когда скорость тела близка к скорости света, кинетическую энергию находят по следующей формуле:

Кинетическая энергия тела, формула которой была написана выше, может также рассчитываться по такому принципу:

Примеры задач по нахождению кинетической энергии

1. Сравните кинетическую энергию шарика массой 9 г, летящего со скоростью 300 м/с, и человека массой 60 кг, бегущего со скоростью 18 км/час.

Итак, что нам дано: m 1 = 0,009 кг; V 1 = 300 м/с; m 2 = 60 кг, V 2 = 5 м/с.

Решение:

• Энергия кинетическая (формула): Е к = mv 2: 2.
• Имеем все данные для расчета, а поэтому найдем Е к и для человека, и для шарика.
• Е к1 = (0,009 кг х (300 м/с) 2) : 2 = 405 Дж;
• Е к2 = (60 кг х (5 м/с) 2) : 2= 750 Дж.
• Е к1 < Е к2.

Ответ: кинетическая энергия шарика меньше, чем человека.

2. Тело с массой 10 кг было поднято на высоту 10 м, после чего его отпустили. Какую КЭ оно будет иметь на высоте 5 м? Сопротивлением воздуха разрешается пренебречь.

Итак, что нам дано: m = 10 кг; h = 10 м; h 1 = 5 м; g = 9,81 Н/кг. Е к1 - ?

Решение:

• Тело определенной массы, поднятое на некую высоту, имеет потенциальную энергию: E п = mgh. Если тело падает, то оно на некоторой высоте h 1 будет иметь пот. энергию E п = mgh 1 и кин. энергию Е к1. Чтобы была правильно найдена энергия кинетическая, формула, которая была приведена выше, не поможет, а поэтому решим задачу по нижеследующему алгоритму.
• В этом шаге используем закон сохранения энергии и запишем: Е п1 + Е к1 = Е п.
• Тогда Е к1 = Е п - Е п1 = mgh - mgh 1 = mg(h-h 1).
• Подставив наши значения в формулу, получим: Е к1 = 10 х 9,81(10-5) = 490,5 Дж.

Ответ: Е к1 = 490,5 Дж.

3. Маховик, имеющий массу m и радиус R, оборачивается вокруг оси, проходящей через его центр. Угловая скорость оборачивания маховика - ω . Дабы остановить маховик, к его ободу прижимают тормозную колодку, действующей на него с силой F трения . Сколько оборотов сделает маховик до полной остановки? Учесть, что масса маховика сосредоточена по ободу.

Итак, что нам дано: m; R; ω; F трения. N - ?

Решение:

• При решении задачи будем считать обороты маховика подобными оборотам тонкого однородного обруча с радиусом R и массой m, который оборачивается с угловой скоростью ω.
• Кинетическая энергия такого тела равна: Е к = (Jω 2) : 2, где J = mR 2 .
• Маховик остановится при условии, что вся его КЭ истратится на работу по преодолению силы трения F трения, возникающей между тормозной колодкой и ободом: Е к = F трения *s , где s - 2 πRN = (mR 2 ω 2) : 2, откуда N = (mω 2 R) : (4πF тр).

Ответ: N = (mω 2 R) : (4πF тр).

В заключение

Энергия - это важнейшая составляющая во всех аспектах жизни, ведь без нее никакие тела не смогли бы выполнять работу, в том числе и человек. Думаем, статья вам внятно дала понять, что собой представляет энергия, а развернутое изложение всех аспектов одной из ее составляющих - кинетической энергии - поможет вам осознать многие процессы, происходящих на нашей планете. А уж о том, как найти кинетическую энергию, вы можете узнать из приведенных выше формул и примеров решения задач.

Энергия взаимодействия тел. Потенциальной энергией тело само по себе не может обладать. определяется силой, действующей на тело со стороны другого тела. Поскольку взаимодействующие тела равноправны, то потенциальной энергией обладают только взаимодействующие тела.

A = Fs = mg (h 1 - h 2 ).

Теперь рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости сила тяжести совершает работу

A = mgscosα .

Из рисунка видно, что s cosα = h , следовательно

А = mg h .

Выходит, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела.

Равенство A = mg (h 1 - h 2 ) можно записать в виде A = - (mg h 2 - mgh 1 ).

Т. е. работа силы тяжести при перемещении тела массой m из точки h 1 в точку h 2 по любой траектории равна изменению некоторой физической величины mgh с противоположным знаком.

Физическая величина , равная произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называется потенциальной энергией тела.

Потенциальную энергию обозначают через Е р . Е р = mgh , следовательно:

A = - (Е р 2 - Е р 1 ).

Тело может обладать как положительной, так и отрицательнойпотенциальной энергией. Тело массой m на глубине h от поверхности Земли обладает отрицательной потенциальной энергией: Е р = - mgh .

Рассмотрим потенциальную энергию упругодеформированного тела.

Прикрепим к пружине с жесткостью k брусок, растянем пружину и отпустим брусок. Под действием силы упругости растянутая пружина приведет в действие брусок и переместит его на некоторое расстояние. Вычислим работу силы упругости пружины от некоторого начального значения x 1 до конечного x 2 .

Сила упругости в процессе деформации пружины изменяется. Чтобы найти работу силы упругости можно взять произведение среднего значения модуля силы и модуля перемещения:

А = F у.ср (x 1 - x 2 ).

Так как сила упругости пропорциональна деформации пружины, то среднее значение ее модуля равно

Подставив это выражение в формулу работы силы, получим:

Физическую величину , равную половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называют потенциальной энергией упругодеформированного тела:

Откуда следует, что A = - (Е р2 - Е р1 ).

Как и величина mgh , потенциальная энергия упругодеформированного тела зависит от координат, поскольку x 1 и x 2 - это удлинения пружины и в то же время - координаты конца пружины. Поэтому можно сказать, что потенциальная энергия во всех случаях зависит от координат.

Если тело некоторой массы m двигалось под действием приложенных сил, и его скорость изменилась от до то силы совершили определенную работу A .

Работа всех приложенных сил равна работе равнодействующей силы (см. рис. 1.19.1).

Между изменением скорости тела и работой, совершенной приложенными к телу силами, существует связь. Эту связь проще всего установить, рассматривая движение тела вдоль прямой линии под действием постоянной силы В этом случае векторы силы перемещения скорости и ускорения направлены вдоль одной прямой, и тело совершает прямолинейное равноускоренное движение. Направив координатную ось вдоль прямой движения, можно рассматривать F , s , υ и a как алгебраические величины (положительные или отрицательные в зависимости от направления соответствующего вектора). Тогда работу силы можно записать как A = Fs . При равноускоренном движении перемещение s выражается формулой

Отсюда следует, что

Это выражение показывает, что работа, совершенная силой (или равнодействующей всех сил), связана с изменением квадрата скорости (а не самой скорости).

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела:

Работа приложенной к телу равнодействующей силы равна изменению его кинетической энергии и выражается теоремой о кинетической энергии:

Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения.

Кинетическая энергия - это энергия движения. Кинетическая энергия тела массой m , движущегося со скоростью равна работе, которую должна совершить сила, приложенная к покоящемуся телу, чтобы сообщить ему эту скорость:

Если тело движется со скоростью , то для его полной остановки необходимо совершить работу

В физике наряду с кинетической энергией или энергией движения важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел .

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения и определяется только начальным и конечным положениями тела . Такие силы называются консервативными .

Работа консервативных сил на замкнутой траектории равна нулю . Это утверждение поясняет рис. 1.19.2.

Свойством консервативности обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Если тело перемещается вблизи поверхности Земли, то на него действует постоянная по величине и направлению сила тяжести . Работа этой силы зависит только от вертикального перемещения тела. На любом участке пути работу силы тяжести можно записать в проекциях вектора перемещения на ось OY , направленную вертикально вверх:

где F т = F т y = -mg - проекция силы тяжести, Δs y - проекция вектора перемещения. При подъеме тела вверх сила тяжести совершает отрицательную работу, так как Δs y > 0. Если тело переместилось из точки, расположенной на высоте h 1 , в точку, расположенную на высоте h 2 от начала координатной оси OY (рис. 1.19.3), то сила тяжести совершила работу

Эта работа равна изменению некоторой физической величины mgh , взятому с противоположным знаком. Эту физическую величину называют потенциальной энергией тела в поле силы тяжести

Она равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком.

Потенциальная энергия E р зависит от выбора нулевого уровня, т. е. от выбора начала координат оси OY . Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение ΔE р = E р2 - E р1 при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

скриншот квеста с отскоком мячика от мостовой

Если рассматривать движение тел в поле тяготения Земли на значительных расстояниях от нее, то при определении потенциальной энергии необходимо принимать во внимание зависимость силы тяготения от расстояния до центра Земли (закон всемирного тяготения ). Для сил всемирного тяготения потенциальную энергию удобно отсчитывать от бесконечно удаленной точки, т. е. полагать потенциальную энергию тела в бесконечно удаленной точке равной нулю. Формула, выражающая потенциальную энергию тела массой m на расстоянии r от центра Земли, имеет вид:

где M - масса Земли, G - гравитационная постоянная.

Понятие потенциальной энергии можно ввести и для силы упругости. Эта сила также обладает свойством консервативности. Растягивая (или сжимая) пружину, мы можем делать это различными способами.

Можно просто удлинить пружину на величину x , или сначала удлинить ее на 2x , а затем уменьшить удлинение до значения x и т. д. Во всех этих случаях сила упругости совершает одну и ту же работу, которая зависит только от удлинения пружины x в конечном состоянии, если первоначально пружина была не деформирована. Эта работа равна работе внешней силы A , взятой с противоположным знаком (см 1.18):

где k - жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, т. е. сообщить этому телу кинетическую энергию. Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Потенциальной энергией пружины (или любого упруго деформированного тела) называют величину

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией.

Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x 1 , тогда при переходе в новое состояние с удлинением x 2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Потенциальная энергия при упругой деформации - это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой посредством сил упругости.

Свойством консервативности наряду с силой тяжести и силой упругости обладают некоторые другие виды сил, например, сила электростатического взаимодействия между заряженными телами. Сила трения не обладает этим свойством. Работа силы трения зависит от пройденного пути. Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

Чтобы увеличить расстояние тела от центра Земли (поднять тело), над ним следует совершить работу. Эта работа против силы тяжести запасается в виде потенциальной энергии тела.

Для того, чтоб понять что же такое потенциальная энергия тела найдем работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела массой m вертикально вниз с высоты над поверхностью Земли до высоты .

Если разность пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием до центра Земли, то силу тяготения во время движения тела можно считать постоянной и равной mg.

Так как перемещение совпадает по направлению с вектором силы тяжести то получается, что , работа силы тяжести равна

Из последней формулы видно, что работа силы тяжести при переносе материальной точки массой m в поле тяготения Земли равна разности двух значений некоторой величины mgh. Поскольку работа есть мера изменения энергии, то в правой части формулы стоит разность двух значений энергии этого тела. Это значит, что величина mgh представляет собой энергию, обусловленную положением тела в поле тяготения Земли.

Энергию, обусловленную взаимным расположением взаимодействующих между собой тел (или частей одного тела), называют потенциальной и обозначают Wp. Следовательно, для тела, находящегося в поле тяготения Земли,

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела , взятому с противоположным знаком.

Работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению модуля силы тяжести на разность высот в начальном и конечном положениях

Значение потенциальной энергии тела, поднятого над Землей, зависит от выбора нулевого уровня, то есть высоты, на которой потенциальная энергия принимается равной нулю. Обычно принимают, что потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю.

При таком выборе нулевого уровня потенциальная энергия тела , находящегося на высоте h над поверхностью Земли, равна произведению массы тела на Модуль ускорения свободного падения и расстояние его от поверхности Земли:

Из всего выше сказанного, можем сделать вывод: потенциальная энергия тела зависит всего от двух величин , а именно: от массы самого тела и высоты, на которую поднято это тело. Траектория движения тела никак не влияет на потенциальную энергию.

Физическая величина, равная половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называется потенциальной энергией упруго деформированного тела:

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе, которую совершает сила упругости при переходе тела в состояние, в котором деформация равна нулю.

Так же есть:

Кинетическая энергия

В формуле мы использовали.